test t eșantioane independente, test Welch, Mann-Whitney, Cohen d, JASP
Studiu de caz 01
JASP · teste și inferență
Test t pentru eșantioane independente
Comparația a două grupuri pentru o variabilă continuă, cu verificarea distribuției și a egalității varianțelor.
JASP Student t Welch t Mann-Whitney Cohen d
Întrebarea de analiză
Există o diferență între grupurile „DA” și „NU” pentru variabila continuă analizată și cât de mare este această diferență? Destul de simplu.
Rezultatele principale
| Analiză | Statistică | p | Mărimea efectului |
|---|---|---|---|
| Student t | t(37) = 4,016 | < 0,001 | d = 1,307 |
| Welch t | t(19,911) = 3,578 | 0,002 | d = 1,228 |
| Mann-Whitney | U = 310,000 | < 0,001 | corelație rang-biserială = -0,685 |
Grupul „DA” are o medie de 10,50 (n = 16, SD = 4,30), iar grupul „NU” o medie de 6,34 (n = 23, SD = 2,08). Diferența descriptivă dintre medii este de 4,15.
Pe scurt, Shapiro-Wilk indică o abatere de la normalitate, W = 0,899, p = 0,002. Vom utiliza testul Mann-Whitney.
Dacă nu exista o abatere de la normalitate utilizam testul Welch, deoarece testul Levene indică varianțe inegale, F(1, 37) = 7,598, p = 0,009.
Rezultat
Ce conține testul
- trei variante de comparare a grupurilor, care se aleg în funcție de normalitate și varianță;
- verificarea normalității și a egalității varianțelor;
- medii, abateri standard și ranguri;
- un raincloud plot care combină observațiile, boxplotul și densitatea.
6. Despre testul t
Statisticienii folosesc testul t, inventat de W. S. Gosset (Anglia, 1876–1936). Gosset lucra ca director la fabrica de bere Guinness, unde s-a angajat după ce și-a luat diploma la Oxford. A publicat sub pseudonimul „Student”, deoarece angajatorii săi nu doreau ca firmele concurente să își dea seama cât de utile puteau fi rezultatele.
Această secțiune va arăta, printr-un exemplu, cum se efectuează testul t. Totuși, discuția este puțin tehnică și poate fi omisă. În Los Angeles au fost realizate numeroase studii pentru a determina concentrația de CO (monoxid de carbon) în apropierea autostrăzilor, în diferite condiții de trafic. Tehnica de bază presupune captarea probelor de aer în pungi speciale și apoi determinarea concentrațiilor de CO din probe cu ajutorul unui aparat numit spectrofotometru. Aceste aparate pot măsura concentrații de până la aproximativ 100 ppm (părți per milion în volum), cu erori de ordinul a 10 ppm. Spectrofotometrele sunt destul de delicate și trebuie calibrate în fiecare zi. Aceasta presupune măsurarea concentrației de CO într-o probă de gaz fabricată, numită gaz etalon, în care concentrația este controlată cu precizie la 70 ppm. Dacă aparatul indică o valoare apropiată de 70 ppm pentru gazul etalon, este gata de utilizare; dacă nu, trebuie reglat. Un factor care complică lucrurile este că mărimea erorilor de măsurare variază de la o zi la alta. Totuși, într-o anumită zi, presupunem că erorile sunt independente și urmează curba normală; SD este necunoscută și se modifică de la o zi la alta.
Într-o zi, un tehnician face cinci măsurători pe gazul etalon și obține:
\[ 78 \qquad 83 \qquad 68 \qquad 72 \qquad 88 \]
Patru dintre aceste cinci valori sunt mai mari decât 70, iar unele sunt mai mari cu destul de mult. Poate fi explicat acest lucru prin variația aleatoare? Sau indică o eroare sistematică, provocată poate de reglarea necorespunzătoare a aparatului?
Este necesar un test de semnificație și trebuie ales un model de urnă. Modelul care trebuie folosit este modelul Gauss (secțiunea 3 din capitolul 24). Potrivit acestui model, fiecare măsurătoare este egală cu valoarea adevărată de 70 ppm, plus eroarea sistematică, plus o extragere cu revenire din urna erorilor. Bilețelele din urna erorilor au media 0, iar SD este necunoscută.
Parametrul-cheie este eroarea sistematică. Ipoteza nulă spune că eroarea sistematică este egală cu 0. Conform acestei ipoteze, media celor cinci măsurători are valoarea așteptată de 70 ppm; diferența dintre medie și 70 ppm este explicată ca variație aleatoare. Ipoteza alternativă spune că eroarea sistematică este diferită de 0, astfel încât diferența dintre media măsurătorilor și 70 ppm este reală.
Ca și înainte, statistica de test potrivită este:
\[ \frac{\text{observat}-\text{așteptat}}{SE} \]
Media celor cinci măsurători este 77,8 ppm, iar SD este 7,22 ppm. Pare corect să estimăm SD a urnei erorilor prin 7,22 ppm. SE pentru suma extragerilor este \(\sqrt{5}\times 7{,}22 \approx 16{,}14\) ppm. Iar SE pentru medie este \(16{,}14/5 \approx 3{,}23\) ppm. Statistica de test este:
\[ \frac{77{,}8-70}{3{,}23}\approx 2{,}4 \]
Cu alte cuvinte, media eșantionului este cu aproximativ 2,4 SE peste valoarea așteptată conform ipotezei nule. Aria din dreapta valorii 2,4 sub curba normală este mai mică de 1%. Această valoare P pare să constituie o dovadă puternică împotriva ipotezei nule.
Totuși, lipsește ceva. SD a măsurătorilor este doar o estimare pentru SD a urnei erorilor. Iar numărul de măsurători este atât de mic, încât estimarea poate fi foarte departe de valoarea adevărată. Există o incertitudine suplimentară care trebuie luată în considerare, în doi pași.
Pasul 1
Când numărul de măsurători este mic, SD a urnei erorilor nu trebuie estimată prin SD a măsurătorilor. În schimb, se folosește \(SD^+\):
\[ SD^+ = \sqrt{\frac{\text{numărul de măsurători}}{\text{numărul de măsurători}-1}}\times SD \]
Această estimare este mai mare. A se vedea p. 74 pentru definiția lui \(SD^+\) și p. 495 pentru logica din spatele definiției.
În exemplu, numărul de măsurători este 5, iar SD este 7,22 ppm. Prin urmare, \(SD^+ \approx \sqrt{5/4}\times 7{,}22 \approx 8{,}07\) ppm. Apoi, SE este calculată în modul obișnuit. SE pentru sumă este \(\sqrt{5}\times 8{,}07 \approx 18{,}05\) ppm; SE pentru medie este \(18{,}05/5 = 3{,}61\) ppm. Statistica de test devine:
\[ \frac{77{,}8-70}{3{,}61}\approx 2{,}2 \]
Pasul 2
Următorul pas este găsirea valorii P. Cu un număr mare de măsurători, aceasta poate fi determinată folosind curba normală. Dar, cu un număr mic de măsurători, trebuie folosită o altă curbă, numită curba lui Student. Valoarea P obținută din curba lui Student este de aproximativ 5%. Este considerabil mai mare decât valoarea de 1% obținută din curba normală.
Folosirea curbei lui Student necesită puțin efort. De fapt, există câte o astfel de curbă pentru fiecare număr de grade de libertate. În contextul de față:
\[ \text{grade de libertate}=\text{numărul de măsurători}-1 \]
Curbele lui Student pentru 4 și 9 grade de libertate sunt prezentate în figura 1, împreună cu curba normală, pentru comparație.
Figura 1. Curbele lui Student. Linia întreruptă reprezintă curba lui Student pentru 4 grade de libertate în panoul de sus sau pentru 9 grade de libertate în panoul de jos. Linia continuă reprezintă o curbă normală, pentru comparație.
Curbele lui Student seamănă destul de mult cu curba normală, dar sunt mai puțin concentrate în centru și mai răspândite. Pe măsură ce numărul gradelor de libertate crește, curbele se apropie tot mai mult de curba normală, reflectând faptul că SD a măsurătorilor se apropie tot mai mult de SD a urnei erorilor. Toate curbele sunt simetrice în jurul valorii 0, iar aria totală de sub fiecare dintre ele este egală cu 100%.
În exemplu, cu 5 măsurători există \(5-1=4\) grade de libertate. Pentru a găsi valoarea P, trebuie să determinăm aria din dreapta valorii 2,2 sub curba lui Student cu 4 grade de libertate.
Aria poate fi găsită cu ajutorul unui tabel special (p. A105), din care o parte este prezentată în tabelul 1. Rândurile sunt etichetate prin gradele de libertate. Urmăriți rândul pentru 4 grade de libertate. Prima valoare este 1,53, în coloana cu titlul 10%. Aceasta înseamnă că aria din dreapta valorii 1,53 sub curba lui Student cu 4 grade de libertate este egală cu 10%. Celelalte valori pot fi citite în același mod.
Tabelul 1. Un tabel t prescurtat.
| Grade de libertate | 10% | 5% | 1% |
|---|---|---|---|
| 1 | 3,08 | 6,31 | 31,82 |
| 2 | 1,89 | 2,92 | 6,96 |
| 3 | 1,64 | 2,35 | 4,54 |
| 4 | 1,53 | 2,13 | 3,75 |
| 5 | 1,48 | 2,02 | 3,36 |
În exemplu, există 4 grade de libertate, iar t este 2,2. Din tabelul 1, aria din dreapta valorii 2,13 sub curba lui Student cu 4 grade de libertate este 5%. Prin urmare, aria din dreapta valorii 2,2 trebuie să fie de aproximativ 5%. Valoarea P este de aproximativ 5%.
Dovezile se îndreaptă împotriva ipotezei nule, deși nu foarte puternic. Acest lucru încheie exemplul.
Curba lui Student trebuie folosită în următoarele împrejurări:
- Datele seamănă cu extrageri dintr-o urnă.
- SD a urnei este necunoscută.
- Numărul de observații este mic, astfel încât SD a urnei nu poate fi estimată foarte precis.
- Histograma conținutului urnei nu diferă prea mult de curba normală.
Cu un număr mare de măsurători, de exemplu 25 sau mai multe, se folosește de regulă curba normală. Dacă SD a urnei este cunoscută, iar conținutul urnei urmează curba normală, atunci curba normală poate fi folosită chiar și pentru eșantioane mici.
Exemplul 1
Într-o altă zi, șase măsurători pe gazul etalon sunt:
\[ 72 \qquad 79 \qquad 65 \qquad 84 \qquad 67 \qquad 77 \]
Este aparatul calibrat corect? Sau măsurătorile indică o eroare sistematică?
Soluție. Modelul este același ca înainte. Media noilor măsurători este 74 ppm, iar SD este 6,68 ppm. Deoarece există numai șase observații, SD a urnei erorilor trebuie estimată prin \(SD^+\) a datelor, nu prin SD.
\(SD^+\) este \(\sqrt{6/5}\times 6{,}68 \approx 7{,}32\) ppm, astfel încât SE pentru medie este 2,99 ppm. Acum:
\[ t=\frac{74-70}{2{,}99}\approx 1{,}34 \]
Pentru calcularea valorii P, se folosește curba lui Student în locul curbei normale, cu \(6-1=5\) grade de libertate.
Din tabelul 1, aria din dreapta valorii 1,34 sub curba lui Student cu 5 grade de libertate este puțin mai mare de 10%. Nu pare să existe prea multă dovadă privind o eroare sistematică. Aparatul este gata de utilizare. Raționamentul pentru valoarea de 10% este următorul: din tabel, aria din dreapta valorii 1,48 este 10%. Iar 1,34 se află imediat la stânga valorii 1,48. Prin urmare, aria din dreapta valorii 1,34 este puțin mai mare de 10%.
Sursa întregului pasaj: Freedman, Pisani și Purves (2007), capitolul 26, secțiunea 6, pp. 489–494.1
Footnotes
Freedman, D., Pisani, R. și Purves, R. (2007). Statistics (ed. a 4-a, ediția internațională pentru studenți). W. W. Norton & Company, capitolul 26, secțiunea 6, pp. 489–494. Fișa ediției la W. W. Norton.↩︎